Plan :

Sur quelques contresens de l'interprétation de la TSD

Les outils de la TSD : milieu, retournement, répertoires

Exemples de construction de situations dans l'enseignement secondaire

Conclusion

I. SUR QUELQUES CONTRESENS DANS L'INTERPRETATION DE LA TSD

I.1 1er contre-sens : le statut d'une situation fondamentale

Une situation fondamentale d'une notion mathématique est une recherche de nature épistémologique, qui a pour but de déterminer, pour un savoir donné, un (ou des) jeu THEORIQUE possible qui fasse fonctionner ce savoir comme connaissance dans un milieu, avec un acteur (joueur), et qui permette l'institutionnalisation finale de ce savoir.

Constitution d'une situation fondamentale (SF) :

Savoir mathématique analysé + jeu théorique avec un milieu fournissant des rétroactions + autres acteurs opposés éventuels + variables relatives à ce jeu

Une SF est donc une FAMILLE THEORIQUE de questions finalisées (de jeux organisables), de milieux "matériels", de variables … référant au même savoir mathématique mis en jeu dans une situation adidactique.

Le premier contresens, serait d'imaginer qu'une telle construction épistémologique est transférable telle quelle dans la contingence : ainsi dans le primaire, on a pu écraser des SF sur leurs réalisations.

Dans le secondaire, ceci conduirait à des raisonnements par contraposée : on ne constate pas de réalisation de situation adidactique , donc il n'existe pas de SF des savoirs mathématiques "avancés".

Relations SF / milieu expérimental a priori / réalisations 

(cf. EE XI)

I.2. 2ème contresens : le champ de la TSD

Le deuxième contresens serait de croire que la TSD serait un système d'explication holistique de l'enseignement des savoirs mathématiques, et qu'il ne serait nul besoin de théories de la transposition didactique institutionnelle, de la cognition, de la semiosis, … pour comprendre les phénomènes d'enseignement ; et, parallèlement, que l'on pourrait se passer d'une analyse épistémologique et s'en tenir aux procédures des élèves.

A l'origine, la TSD a trop fait confiance au modèle piagétien d'apprentissage par adaptation, au point de croire à un "automatisme" des apprentissages mathématiques par confrontation à un milieu. Au COREM ce sont les enseignants qui ont exigé des chercheurs, au début des expérimentations, d'intercaler dans les situations des phases de bilan et de synthèse au lieu de poursuivre les phases d'action.

Cf. Alain Descaves (2002) :

L'apprentissage du sens certes ! Mais dans quel sens prendre le sens ?

Ce qu'A. Descaves souligne aussi, c'est que si la TSD ne rend pas compte des phénomènes de cognition et notamment de représentations (côté sujet comme côté ostensifs mathématiques), l'analyse des apprentissages mathématiques ne peut se passer d'une théorie des OBJETS mathématiques.

Cf. J. Petitot (1991), Idéalités mathématiques et réalité objective, approche transcendantale

L'épaisseur de la pensée mathématique :

ConceptsObjets mathématiques recherche SFFormelPragmatique &endash; ostensifs - savoirsSavoirs sur les situationsExpérience - Connaissances

L'expérience rejoint le niveau conceptuel, ainsi que le pointe Giuseppe Longo (1999) :

L'infini et les preuves en mathématiques

Et, au final, c'est la cohérence des règles opérant sur le symbolisme mathématique qui donne du sens aux différentes situations relatives à un même concept mathématique.

I.3. 3ème contresens : la validation et les niveaux de milieux

Contresens issu des conceptions de l'apprentissage par adaptation / spécificité des savoirs mathématiques, qui ne sont pas des savoirs s'apprenant par imprégnation, fréquentation …

Opinion répandue : la validation doit s'appuyer essentiellement sur les feed-back de la situation, donc mettre en défaut des règles erronées "suffirait" à construire du sens

Un savoir mathématique ne peut résulter d'une simple confrontation à un milieu qui envoie une rétroaction en cas d'erreur : exemple de la somme de deux décimaux (cf. Descaves 2002).

Validation par la mise en cohérence d'une règle dans des réseaux de significations ou des structures de sens ; MAIS ce n'est pas au même niveau de milieu

II. STRUCTURATION DU MILIEU, RETOURNEMENT DE SITUATION, REPERTOIRES

Outils pour étudier le milieu expérimental a priori

II.1. Structuration du milieu.

Les différents types de validation dans les niveaux de milieux :

Validation "matérielle" dans le milieu objectif : réussite / échec

Validation théorique mathématique dans le milieu de référence : formulation et argumentation mathématique, pour savoir

A quelle question mathématique on était en train de répondre

Différenciation des deux types de "validation" par les questions auxquelles elles répondent : ça marche ? OU : pourquoi ça marche ?

Exemple : le puzzle. Le premier niveau de jeu &endash; la longueur 4 cm devient 7 cm &endash; est un jeu de réussite / échec ; le jeu du milieu de référence n'est plus de savoir si on a réussi ou échoué, mais de savoir à quelle question mathématique on était en train de répondre : et donc, quelle est la règle mathématique pour résoudre toutes les situations d'agrandissement réduction (type échelle).

M3:

M-de constructionP3:

P-noosphérienS3:

situation noosphérienne

surM2:

M-de projetP2:

P-constructeurS2:

situation de constructiondidacM1:

M-didactiqueE1:

E-réflexifP1:

P-projeteurS1:

situation de projettiqueM0:

M d'apprentissageE0:

ElèveP0:

Professeur pour l'élèveS0:

situation didactiqueM-1:

M-de référenceE-1:

E-apprenantP-1:

Professeur en actionS-1:

situation d'apprentissage

a-M-2:

M-objectifE-2:

E-agissantP-2 :

P- observateurS-2:

situation de référencedidacM-3:

M-matérielE-3:

E-objectifS-3:

situation objectivetique

II.2. Retournement de situation

Etudier comment les étapes successives de la situation installent les différents niveaux de milieu afin que le savoir visé se trouve  successivement :

outil de travail : constitution du milieu objectif

objet d'argumentation : constitution du milieu de référence

savoir reconnu : objet dans le processus d'institutionnalisation

Premier exemple : le jeu des envahisseurs

1er jeu : envahir le plus de nombres possibles entre 1 et 30 ; les envahisseurs sont 3, 5,7 à utiliser une fois pour chaque nombre envahi et on a droit à +, - , . Ex. 1 = 5 + 3 &endash; 7

2ème jeu : trouver les envahisseurs pour envahir TOUS les nombres entre 1 et 80 avec l'addition seule, chaque envahisseur ne pouvant être répété que deux fois au maximum.

Jeu retourné

3ème jeu : envahir tous les nombres jusqu'à 9000, avec le moins d'envahisseurs possibles ; on peut répéter jusqu'à 9 fois un envahisseur.

Jeu réflexif pour prendre conscience de la structure.

II.3 Retournement de situation et connaissance nécessaire

Le milieu objectif ne contient pas la connaissance visée, le but est la constitution d'un répertoire et de stratégies de base sur le jeu.

Le deuxième jeu contient la connaissance visée en acte comme nécessaire, i.e. le joueur, pour gagner, doit utiliser la numération en base trois.

La venue à la conscience des joueurs, de ce que c'est bien ce savoir qui s'est joué, fait partie du milieu de référence (situation d'apprentissage), avec débat et preuve.

Le troisième jeu est un jeu de structuration du savoir

institutionnalisation : bases de numération

L'effet visé du retournement de situation est un basculement de sens : du savoir rencontré incidemment (milieu objectif) on passe aux objets mathématiques comme principes de cohérence et de nécessité, et comme outils de structuration.

II.4 Répertoires

Répertoire = registre + règles opératoires

Prise en compte de la spécificité des outils sémiotiques mathématiques : fonction de représentation + fonction opératoire (Chevallard 1996, Les outils sémiotiques du travail mathématique)

Les règles opératoires sont porteuses de connaissances et donc l'analyse du milieu prendra en compte :

Les répertoires existants, disponibles chez les élèves ;

Les répertoires construits par la situation, c'est-à-dire non seulement les registres introduits, mais les capacités à opérer sur ces registres que la situation peut introduire ou non.

Exemple : l'introduction du registre formel dans la situation "Graphiques et chemins" : différence avec le contrat usuel qui fait du registre formel, à ce niveau, un simple outil de désignation des objets supposés transparents.

III. EXEMPLES DE SITUATIONS POUR L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

III.1. La situation "suites de Fibonacci"

Première phase : constitution du milieu objectif

Trouver une suite de Fibonacci telle que :

2, 5, 7, 12, ........, 212

Deuxième phase : retournement de situation et constitution du milieu de référence pour l'algèbre

7, .., .., ..., .......45

9, ..., ..., ..., ........241

Ceci conduit à nommer x le second terme, et les équations en x se trouvent avoir des coefficients positifs ou négatifs, ce qui est intéressant du point de vue du travail algébrique.

Troisième phase : généralisation et apparition de la structure

Trouver des suites de Fibonacci telle que :

u1, u2, ...., ....................178

u1, u2, ...., .................... 51

u1, u2, ...., .................... 301

Calcul "une fois pour toutes" :

aba + ba + 2b2a + 3b3a + 5b5a + 8b…

Questions possibles : y a-t-il une formule pour le n-ième terme ? Combien peut-on trouver de suites de Fibonacci avec des termes entiers positifs, de 10ème terme donné ? Quel théorème d'arithmétique permet d'affirmer que l'équation 21a + 34b = 178 a des solutions ?

Les questions posées sont de niveau mathématique variable, on peut donc ajuster le travail au niveau de la classe considérée. En Quatrième de collège français (7ème Secondaire) cette situation permet de traiter :

Le calcul sur les nombres relatifs ;

Le calcul sur les écritures fractionnaires

Le calcul littéral, et le statut des lettres : distinction entre inconnue et variable ;

La mise en équation d'un problème, résolution ;

Inéquations ; systèmes d'inéquations à une inconnue ;

Systèmes d'équations à deux inconnues.

III.2. La situation "le rallye du plan"

Première phase : à partir de points, et de combinaisons linéaires de vecteurs donnés, "fabriquer" d'autres points constitution du répertoire vectoriel, et modes opératoires

Deuxième phase : retourner le jeu, constitution du milieu de référence

Troisième phase : identification de la structure, avec des vecteurs et des nombres, on peut atteindre n'importe quels points fixés a priori.

Variables didactiques : nature des coefficients (entiers, rationnels…), nombre de vecteurs :

un vecteur : certains points seulement sont atteints

deux vecteurs : tous les points sont atteints d'une seule façon

trois vecteurs : on peut atteindre les points de plusieurs façons

Jeu n°1

Grille pour les récepteurs

Jeu n°2

Grille pour les récepteurs

Jeu n°1

Grille pour les transmetteurs

Jeu n°2

Grille pour les transmetteurs

L'autre équipe a la même grille que vous, mais seulement avec le point O et les vecteurs u et v. Envoyez-leur un message pour placer le point M. Il est sur le cercle (O, OI) , et sur une droite orthogonale au support de v.

Mais vous n'êtes pas autorisés à le dire dans votre message, qui doit contenir seulement O, u, v et des nombres.

L'autre équipe a la même grille que vous, mais seulement avec le point O et les vecteurs u et v. Envoyez-leur un message pour placer le point M. Il est placé tel que (MN) // (PQ) et les points N, P, Q sont exactement sur des points de la grille.

Mais vous n'êtes pas autorisés à le dire dans votre message, qui doit contenir seulement O, u, v et des nombres.

III.3. La situation "graphiques et chemins"

L'étude des travaux de didactique amène à constater qu'il n'existe que peu de situations de résolution de problèmes pour les concepts de l'analyse. Citons cependant les projets qui peuvent être proches de la démarche de construction d'un milieu pour l'enseignement de l'analyse : :

Les travaux de Legrand, Pintard, Di Martino (modélisation par la situation du pétrolier) ;

Les travaux du Groupe AHA : Approche Heuristique de l'Analyse. Le groupe AHA utilise explicitement la problématique des grandeurs, et celle des infinitésimaux, pour construire des situations d'enseignement des concepts de fonction, limite, tangente, intégrale. Quel que soit l'intérêt de cette démarche, je n'ai pu en reprendre les éléments, pour des raisons de temps essentiellement : le projet AHA est un projet long.

repères du plan et graphiques fonctionnels

données de fonctions ou de contraintes amenant à construire des RGC (représentations graphiques cartésiennes) de fonctions, ou à répondre à des questions relatives aux propriétés des RGC construites.

moyens de validation : CHEMINS ET GRAPHIQUES

Les trois chemins fondamentaux:

1. Aller 2. Retour 3. Bissectrice

Les graphiques et les chemins font partie du milieu pour l'action :

sur les repères ou graphiques, l'élève peut tracer des RGC, placer et coder des points ;

avec les chemins, il peut contrôler des images, des antécédents, contrôler qu'une RGC est bien une RGC de fonction ;

il peut contrôler des propriétés des fonctions ;

il peut associer des RGC par une transformation ou une opération, i.e. opérer globalement sur les RGC

LA SITUATION (LE JEU)

a) Composante " fonctions "

Le but du jeu est de :

disposer d'un certain nombre de RGC de fonctions, et pouvoir dire si ces fonctions possèdent, ou non, certaines propriétés.

construire un stock de fonctions sur lesquelles tester les propriétés énoncées.

ce stock de fonctions sera assimilé, dans le milieu prévu, à un stock de RGC, ce qui permettra de le faire en grande partie construire par les élèves.

b) Composante " contraintes "

disposer d'un stock de contraintes, et d'y éprouver les RGC soit données, soit construites ;

produire des contraintes, ou des théorèmes sur les contraintes.

c) Validation

Dans les deux composantes de la situation, le but de la validation (et l'état final gagnant) est le même : être capable de dire si la contrainte est réalisée.

Les moyens de cette validation :

moyens graphiques / formels avec les RGC et les chemins;

éventuellement moyens numériques, algébriques si les données (le choix des variables) le permettent.

La situation comporte une dimension a-didactique si : des questions nouvelles, sur les fonctions, ou sur les contraintes, peuvent émerger à partir des contraintes identifiées et le milieu fournit une rétroaction à ces questions. Il y a INTERACTION DE CONNAISSANCES :

- ELÈVE / MILIEU

- PROFESSEUR / ELEVE

Les fonctions : exemples de fiches

Dans tous les cas, la consigne est : " Dessine la RGC (Représentation Graphique Cartésienne) d'une fonction f vérifiant les conditions énoncées ".

1 : Recherche de fonctions sous contrainte d'inégalités: commencer par placer f(a) et f(b).

x / x < a ou x > b, f(x) < f(b)

et x / a < x < b ,

f(a) > f(x) > f(b)x / a < x < b ,

f(a) > f(x) > f(b)x / x > b, f(a) > f(x) > f(b)

x / x < a, f(x) > f(b)

Dans le premier graphique ci-dessus, étudier quelles questions peuvent être travaillées sur la différence entre fonction bornée et fonction décroissante, sur la continuité, sur les quantificateurs … Comment le milieu permet-il de justifier que la RGC obtenue est bien celle d'une fonction ? Les chemins sont un outil pour répondre. Le milieu graphique permet donc de construire, par le jeu des contraintes, des fonctions nouvelles (non encore rencontrées) et de valider des réponses à des questions concernant ces nouvelles classes de fonctions.

2) x / a < x < b , f(a) > f(x) > f(b) est, ou non, une condition équivalente à " f décroissante sur a , b  " ?

2 : Compléter dans chacun des cadres ci-dessous par une condition sur x, vérifiée pour la RGC tracée

f(x) > f(a) si x ....f(x) > f(a) si x ....f(x) < f(a) si x ....

3. Somme et produit de fonctions

Ci-dessus : dessinez la fonction somme et la fonction produit de f et g, en utilisant les points d'abscisse a, b, c, d, e. Quelles règles peut-on énoncer quant au tracé de la RGC de f + g et de f g à partir des RGC de f et de g ? Enoncez des théorèmes lorsque f et g sont des fonctions connues (par exemple constante, affine...)

Dans chacun des cadres ci-dessous, représentez la RGC de la fonction produit f g (varier f et g, et prolonger les segments)

Les élèves retravaillent dans cette tâche les connaissances numériques, en particulier tout ce qui concerne la somme et le produit de nombres réels : les rapports au zéro et à l'unité sont redécouverts dans un environnement différent.

Il en résulte que les élèves sont en terrain non familier, et que les premiers essais de sommes, par exemple, sont peu assurés : les élèves tracent la somme de deux fonctions affines point par point, en n'osant pas affirmer qu'il s'agit bien d'une droite. Il est nécessaire de passer au mode algébrique pour en être sûr, étant donné les propriétés du graphique. Ce passage s'avère non évident ; ainsi le fait que l'algébrique puisse être un mode de validation pour le graphique est une connaissance à construire, et non pas spontanée.

Par contre pour le produit les élèves énoncent que le produit de deux fonctions affines est une fonction affine … mais là, le graphique invalide très facilement cette proposition.

Comment rendre l'utilisation des connaissances necessaires : retourner la situation (cf. Bloch à paraître, Dédidactification et retournement de situations, communication au colloque Guy Brousseau, juin 2000).

Les consignes consistent à énoncer des propriétés de f g , et à chercher dans quels cas f et g peuvent conduire au résultat cherché :

&emdash; f g coupe l'axe Ox en telle abscisse ;

&emdash; f g est négative sur l'intervalle a, b ;

&emdash; f g est une fonction affine ;

&emdash; f g est une fonction du second degré, et l'abscisse du sommet de la parabole est a ;

&emdash; f g est du second degré, et sa RGC ne coupe pas l'axe Ox ;

&emdash; f g est du second degré, et a un maximum ; f g est du second degré, a pour maximum zéro ;

&emdash; f g est du troisième degré, et n'est pas monotone ; ....

Les fonctions : le chemin de la réciproque et de la composée

Ce travail vise à :

Faire énoncer des propriétés sur la réciproque (condition nécessaire et suffisante d'existence, propriété de symétrie par rapport à la bissectrice) ;

Faire retravailler la notion de racine carrée d'un point de vue fonctionnel ; les élèves trouvent sans difficulté les deux réciproques de la fonction " carré ". Le travail graphique met aussi en évidence de façon particulièrement claire qu'un nombre négatif ne peut avoir d'antécédent.

Donner aux élèves une expertise graphique par la maîtrise des outils d'anticipation sur la composition des fonctions. Ce point est particulièrement bien investi par les élèves.

LES VARIABLES DIDACTIQUES DES SITUATIONS

a) La nature des fonctions intervenant dans les graphiques

fonctions constantes, fonctions affines ;

fonctions quelconques

b) La nature des données numériques ou littérales présentes dans certains graphiques

nombres entiers ou rationnels facilement repérables, ou nombres irrationnels ;

par exemple pour la somme et le produit, signe des valeurs prises par f et g ; pour le produit, comparaison avec l'unité ;

valeurs repérées sur l'axe des x ou des y, mais indiquées par une lettre

recours obligatoire aux quantificateurs.

c) La nature et la complexité des consignes (contraintes) demandées

identification et validation de propriétés de fonctions dont le RGC est donnée ;

ou tracé de RGC de fonctions avec des contraintes données.

La difficulté du problème à résoudre tient alors à plusieurs modalités :

la nature du travail demandé (travail sur une courbe déjà tracée ou tracé à réaliser) ;

le nombre de conditions (contraintes) demandées ;

le fait que les conditions soient données sous forme d'égalités ou d'inégalités, ce qui peut entraîner l'obligation de quantifier ;

les valeurs : numériques ou valeurs "quelconques" repérées par des lettres, sur les axes ou dans les contraintes imposées ; valeurs quantifiées (variables) ou non ;

les conditions globales ou locales

d) La possibilité ou non de fonctionnement autonome du graphique/formel (nécessité de contrôle numérique / algébrique ou non).

La variable algébrique est commandée par les éléments présents dans la consigne

La variable numérique est commandée par la présence ou l'absence d'un quadrillage sur les graphiques 

e) La présence ou l'absence de transformations

connaissant une transformation géométrique, transformer une RGC déjà construite

connaissant une RGC déduite d'une autre, identifier la transformation effectuée

possibilité d'associer des équations

LES OBSTACLES PREVUS

a) Fonctions déjà connues

Les fonctions linéaires et affines sont prégnantes au début de l'apprentissage de la notion de fonction. On récupère donc des connaissances, mais aussi des " théorèmes-élèves " comme " le produit de deux fonctions affines est ne fonction affine ".

b) Contrat classique associé au graphique

le graphique est vu dans ce contrat classique comme l'aboutissement d'une suite d'opérations algorithmiques et non comme un outil de preuve ou de construction ;

le graphique peut être vu également comme une " photographie " de la fonction ou comme un idéogramme, ce qui peut amener à accorder à la fonction des propriétés qui sont en fait celles du dessin ;

le traitement dans le contrat classique est essentiellement ponctuel. Or le fonctionnement ponctuel, non seulement n'induit pas le fonctionnement global mais plus encore, il peut se constituer en obstacle au fonctionnement global .

c) Expertise graphique

le registre graphique est porteur, comme tout autre, d'un certain nombre de spécificités de fonctionnement qui doivent être enseignées / apprises et qui, dans le contrat classique, ne font pas partie des connaissances publiques de la classe.

d) Etablissement du nouveau contrat et connaissances des élèves

le contrat classique : dans ce contrat, le produit de deux fonctions affines étant donné, le professeur fera effectuer le produit algébrique, constater que l'on obtient une fonction du second degré, et trouver éventuellement la correspondance entre les paramètres de la parabole associée et les paramètres de départ des fonctions affines (milieu allié)

Théorème- élève : le produit de deux " segments " est un " segment "

le registre algébrique permet de désigner une fonction sans ambiguité ; le fonctionnement consiste donc à identifier une fonction, puis à décliner, sur cette fonction, un certain nombre de propriétés

dans le milieu graphique, on procède plutôt par accumulation d'informations sur la fonction, mais les informations recueillies restent en tout état de cause significatives d'une classe de fonctions, et non d'une fonction unique (à moins bien entendu que l'on ne dispose d'une information supplémentaire de type algébrique).

rupture avec le contrat habituel ; rupture aussi au niveau des moyens de validation disponibles pour les élèves, et au niveau des questions qu'ils sont amenés à prendre en charge

EFFETS DE LA SITUATION " GRAPHIQUES ET CHEMINS "

a) Changement de contrat

La preuve par la rgc est à la charge des élèves et non plus du ressort du seul professeur. Le graphique fonctionne comme élément interactif non algorithmisé (Lacasta). il y a un RAPPORT EFFECTIF avec le graphique.

b) Modification des objets problématiques

Le graphique n'est plus le but rituel d'un travail qui se passe dans un autre registre. Il est devenu outil de preuve dans un questionnement où les objets problématiques sont des concepts : fonctions et propriétés des fonctions.

c) Création d'un milieu fonctionnel

Cette situation contribue à créer un milieu fonctionnel pour poser des questions d'analyse, un " herbier " de fonctions plus riche que les fonctions de référence algébriques.

CONCLUSION

En conclusion, à partir de la modélisation du savoir par les situations de la TSD, il faut insister sur la nécessité d'analyser :

® la succession des situations nécessaires pour rendre compte d'un même savoir mathématique ;

® les expériences à faire vivre aux élèves pour aboutir au basculement de sens évoqué plus haut, visant la prise de conscience de la cohérence et de la nécessité des savoirs mathématiques, et de leur fonction organisatrice ;

Il est nécessaire également de travailler sur l'articulation situations / objets mathématiques / formalisme, afin de comprendre l'articulation des expériences avec le formel et le sens, et de pouvoir interroger la fonction de structuration du formel, et ce qu'il peut apporter de possibilité de dépasser l'expérience, voire de se dispenser de la vivre.

La didactique des mathématiques a des théories performantes de conception et d'analyse des situations, qui doivent permettre le travail sur ces questions aujourd'hui fondamentales.

BIBLIOGRAPHIE (très partielle)

BLOCH I. (1997) Les connaissances mathématiques de l'enseignant &endash; pour l'enseignement. Petit x 45, 5-24, Université Joseph Fourier, Grenoble.

BLOCH I. (1999) L'articulation du travail mathématique du professeur et de l'élève dans l'enseignement de l'analyse en Première scientifique. RDM 19/2, 135-194, La Pensée Sauvage, Grenoble.

BLOCH I. (à paraître) Différents niveaux de modèles de milieux dans la théorie des situations didactiques : recherche d'une dialectique scientifique entre analyse théorique et contingence. (11ème Ecole d'Eté de DDM, Corps 2001)

BUTLEN D., DESCAVES A. (2000) Introduction du symbolisme à la fin de l'école élémentaire et au début du collège. Actes du XXVIIème colloque COPIRELEM, Limoges 1999.

CONNE F. Articles de 1992 (Connaissances et savoirs), de 1999 (Faire des maths & Xème EE de DDM, Houlgate 1999), de 2001 (11ème Ecole d'Eté de DDM, à paraître).

DESCAVES A. (2002) L'apprentissage du sens certes ! mais dans quel sens prendre le sens? Actes du XXVIIIème colloque COPIRELEM, Tours 2001.

LONGO G. (1999) L'infini et les preuves en mathématiques.