de la SSRDM no 2/98

Société Suisse pour la Recherches en Didactique des Mathématiques

Sommaire Editorial; Condition d'utilisation et utilisation effective des savoirs didactiques dans la formation des enseignants en mathématique; Manifeste de la SSRDM; Utilisation des savoirs didactiques: échos del la journée SSRDM 1998 et d'un colloque à Genève; CIEAM 50 à Neuchâtel: synthèse de la SSRDM; Curiosités didactiques   bulletins , home

Responsable de la publication du Bulletin: François Conne.

Ont collaboré à la rédaction de ce numéro: Joël Briand, François Conne, Ruhal Floris, André Scheibler.

La présente publication est un outil d'information interne à la SSRDM. Elle est donc réservée à ses seuls membres. Elle ne fait l'objet d'aucun commerce. Sauf mention contraire, ses articles peuvent être reproduits, à condition d'en faire une demande auprès de la rédaction.

Couverture: dessin d'Yves Giroud, fait à l'occasion de la synthèse présentée par la SSRDM à Neuchâtel en août 1998.

Ce second bulletin relate notre journée d'étude du 24 avril 1998 et l'intervention de notre société lors du 50ème congrès de la CIEAM à Neuchâtel. Nous avions préparé pour cette occasion une plaquette de présentation que nous joignons à cet envoi (en pages centrales 17 à 20). Elle est destinée à être largement diffusée et se trouvera bientôt sur le NET, en différentes traductions. Comme nous l'espérions, elle a déjà suscité des discussions et des commentaires. En particulier, il nous a fallu expliciter notre première affirmation: "La science de la diffusion des connaissances mathématiques est un domaine de recherches fondamentales." Cela nous renvoie à la question des rapports entre mathématiques et didactique des mathématiques, revenons-y.

En 1994, le mathématicien W. P. Thurston a publié un texte intitulé: "Preuves et progrès en mathématiques." ("On proof and progress in mathematics."). Ce texte a fait grand bruit chez les didacticiens. (Tant la version originale que sa traduction française sont disponibles auprès du secrétariat de la SSRDM). Voici comment d'entrée de jeu Thurston répond à la question "What is that mathematicians accomplish?" - "Que font les mathématiciens?" (Traduction J. Brette):

"Il y a beaucoup de réponses à cette question, que j'ai essayé de formuler de façon qu'elle ne présuppose pas la nature de la réponse. Ce ne serait pas bon, par exemple, de commencer par la question:

Comment les mathématiciens démontrent-ils les théorèmes?

Ainsi formulée, la question ouvre un intéressant sujet, mais commencer par elle revient à admettre deux suppositions cachées, à savoir:

1. Qu'il existe une théorie, et une pratique, de la démonstration mathématique qui est à la fois: uniforme, objective, et bien établie.

2. Que les progrès que réalisent les mathématiciens consistent à prouver des théorèmes.

Il est grand temps d'examiner ces hypothèses, plutôt que de les accepter comme des évidences et de s'appuyer sur elles. La question n'est même pas:

Comment les mathématiciens font-ils des progrès en mathématiques?

A laquelle je préfère une forme explicite (plus fondamentale*):

Comment les mathématiciens font-ils avancer la compréhension humaine* des mathématiques?

Cette question amène au premier plan quelque chose qui est à la fois fondamental et diffus*, mais qui est souvent minimisé ou négligé par les mathématiciens, à savoir que ce que nous faisons consiste à trouver des moyens permettant aux gens de comprendre les mathématiques et de pouvoir y penser." * C'est moi qui souligne ces passages.

C'est exactement ce genre de questions que nous avons en tête lorsque nous parlons de recherches fondamentales. Dans le propos de Thurston, cette tâche consistant à faire avancer la compréhension humaine des mathématiques est déléguée aux mathématiciens professionnels. Cela ne signifie pas pour autant qu'on va se contenter d'une compréhension individuelle de quelque esprit éclairé, mais qu'il est bien question de compréhension partagée par un groupe de personnes (l'auteur ne précise pas plus). Il déclare aussi: "Par conséquent, pour analyser la compréhension humaine des mathématiques, il est important de préciser qui comprend quoi, et quand." Une telle position aussi clairement affirmée ne peut que réjouir les didacticiens et les conforter dans l'idée émise par Y. Chevallard:

"... dans nos sociétés modernes, le didactique est en quelque sorte partout dense dans le cognitif".

Si donc la compréhension humaine des mathématiques est une compréhension partagée, on peut alors comprendre que la tâche du mathématicien soit reportée dans cette institution qu'est l'école: Il incombera aux enseignants de trouver des moyens pour permettre non plus aux gens en général, mais aux élèves qui lui sont confiés de comprendre et de penser aux mathématiques. Il en irait de manière analogue pour les formateurs d'enseignants. La conférence de J. Briand le rappelle: "Les buts de la formation en mathématiques: 1. Restaurer des rapports personnels de l'étudiant aux mathématiques." Mais cette spécification s'accompagne aussi d'une extension, et le conférencier enchaîne aussitôt: "Le faire dans des activités qui mettent en jeu des phénomènes didactiques." Il déclare à plusieurs reprises: "Le savoir du professeur ne saurait s'identifier à celui enseigné à l'élève auquel il s'adresse, pas seulement pour des raisons évidentes de compétences disciplinaires minimales, mais parce que les mathématiques dont a besoin le professeur pour enseigner les mathématiques sont spécifiques."

Je ferais remarquer alors que si on s'en tient à la thèse de Thurston, ces mathématiques spécifiques pour enseigner ne doivent pas être seulement considérées comme des outils ou des choses à savoir, mais bien aussi comme des objets à comprendre. Parlant de sa propre compréhension des mathématiques, Thurston n'est pas de ceux qui prétendent qu'elle serait instantanée ou à jamais achevée. Prenant comme exemple les différentes idées que l'on peut se faire de la notion de dérivée, il déclare en effet: "Je me souviens aussi d'être revenu sur ces différents concepts ultérieurement, avec une signification et une compréhension accrues." Il n'est pas difficile d'imaginer que ce sont les contextes auxquels quelqu'un se trouve confronté qui peuvent à tout moment l'amener à de telles révisions et développements. Dès lors, J. Briand nous déclare rien moins que ceci: la tâche d'enseigner est l'occasion d'une telle réouverture et d'une signification et compréhension accrues.

Mais est-ce tout? Pourrions-nous limiter la tâche de l'enseignant à celle d'un mathématicien d'école? Cette question est au centre de discussions entre didacticiens. Nous y répondons par la négative lorsque nous nous demandons: "Quels savoirs didactiques sont pertinents et fondamentaux pour la formation des maîtres?" En effet, nous affirmons par là que l'enseignant est autant mathématicien d'école que didacticien d'école. Paraphrasant Thurston, je dirais que le didacticien a entre autres tâches celle de "faire avancer la compréhension humaine des phénomènes didactiques". Voici un exemple d'un ensemble de questions didactiques sur lesquelles "notre compréhension pourrait avancer". On peut se demander quelle compréhension des mathématiques suffira aux maîtres de telle école, à tel niveau, pour leurs enseignements. Attention la question n'est pas d'abord: que savoir pour enseigner, mais bien que comprendre pour enseigner ! Il semble admis par tous, hormis peut-être ce directeur d'école mentionné par J. Briand, qu'il soit nécessaire à l'enseignant de comprendre plus de choses que ce qu'il devra enseigner. Vraiment: "plus de choses", ne serait-ce pas plutôt: "mieux les mêmes choses"? Mais que veulent dire au juste plus comprendre ou mieux comprendre? Thurston se contente de prendre acte de la question de la compréhension et de reconnaître sa pertinence pour les mathématiques; il admet qu'elle comporte une dimension psychologique. Il s'agit aussi d'une question de didactique. Il est à nos yeux autant utile que fondamental de comprendre les liens qui existent, dans telle ou telle institution, entre savoir et comprendre. Cela pourrait nous aider à penser ce que j'appelle la tolérance à l'ignorance d'un système didactique qui consiste à prendre en compte les limites dans lesquelles les savoirs des uns et des autres protagonistes de ce système peuvent se cantonner sans en empêcher le fonctionnement.

Je rejoins Thurston dans l'idée que parler d'avancée dans la compréhension humaine de tel ou tel objet ou dire recherche fondamentale reviennent au même. Mais si je veux parler de didactique comme Thurston parle de son domaine, je dois commencer par formuler un tant soit peu précisément ce que nous ne comprenons pas encore et le faire avaliser par la culture. Cela commence par ce rappel: nos rapports aux mathématiques et à leurs ostensifs n'ont pas l'apanage de nos incompréhensions scolaires!

F.C.

Références

W. P. Thurston: On Proof and Progress in mathematics, bulletin of the American society of Mathematics, vol. 30 n° 2, april 1994.

W. P. Thurston: Preuve et progrès en mathématiques, Repères, n°21, octobre 1995.

Y. Chevallard: Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportés par une approche anthropologique, in Didactique des mathématiques, sous la direction de Jean Brun, coll. Textes de base en pédagogie, Delachaux et Niestlé, 1996, pp. 145-196.

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Déjà en 1986, lors de l'école d'été française de DDM, Marie-Jeanne Perrin présentait les résultats d'un questionnaire concernant la formation des enseignants en didactique des mathématiques. Les concepts cités étaient ceux de variable didactique, la typologie des situations, le contrat didactique. On l'a vu avec Joël Briand, la création des IUFM en France a accéléré le processus de transposition didactique des savoirs didactiques. Marie-Alberte Johsua, de l'IUFM de Marseille, l'a récemment confirmé à Genève, lors d'un colloque de travail des enseignants de didactique de la nouvelle formation universitaire des instituteurs genevois (LME). En confrontant les dispositifs marseillais et genevois, on constate le caractère structurant des savoirs mathématiques et didactiques. On rejoint ici l'une des questions issues d'un des groupes de travail de la journée SSRDM : " Quelles dépendances y a-t-il entre les savoirs didactiques ? ". Il semble bien que dans la formation certains concepts sont explicités et travaillés, ainsi celui de variable didactique, tandis que d'autres restent quelque peu en retrait dans ce cadre (transposition didactique), mais sont étudiés dans des cours s'adressant à un plus large public de sciences humaines. La question ci-dessus nous conduit sans doute à l'étude de la transposition des savoirs didactiques, des conditions et de l'écologie de cette transposition. Il apparaît par exemple qu'en France, le rôle des concours est fondamental.

Parmi les questions récoltées lors de la journée SSRDM, nous avons également relevé celle-ci :

" Quelles sont les conditions d"existence et de création d'un milieu a-didactique permettant aux étudiants de rencontrer des concepts didactiques? Dans quelles conditions ces savoirs peuvent-ils exister? Existe-t-il des situations fondamentales des connaissances didactiques? "

Dans sa conférence Joël Briand a traité quelque peu cette question, en évoquant certaines conditions - plus didactiques que adidactiques, d'ailleurs. A Genève, avec Richard Schubauer, nous rejoignons cette recherche en développant une stratégie de formation tendant à la transposition par contraste avec celle d'homologie à travers laquelle on suggère aux formés de s'inspirer de la façon dont nous gérons notre enseignement (pour la définition des stratégies, voir le texte de Briand ou Houdement & Kuzniak(3).) :

En faisant jouer aux étudiants une situation mathématique, le contrat de formation suggère implicitement un " modèle " à suivre. C'est le cœur des stratégies d'homologie. L'extension de ces stratégies en une stratégie transpositive se fait à travers un processus de distanciation. Cette distanciation commence avec un discours sur le jeu vécu et se poursuit par les analyses de phases de leçons qu'elle permet de mener.

(...) Nous conjecturons que c'est par l'enrichissement d'un " milieu " de cours et de textes théoriques, de concepts didactiques et de questions " naïves " retravaillées que le processus de distanciation peut se développer. A ce propos, le travail effectué par certains étudiants conforte cette conjecture (4). (Floris & Schubauer, 1998.)

Cependant, nous dit-on(5), les concepts de DDM, qui permettent de modéliser et de comprendre les phénomènes de transmission des savoirs, peuvent-ils être utiles à résoudre des problèmes dans la classe ? Et, plus précisément, en quoi pourraient-ils favoriser le contrôle de la tâche plutôt que celui des actes ?

A Genève, nous avons demandé aux étudiants de focaliser leur écoute sur les négociations de contrat didactique. Ceux qui ont joué le jeu de la distanciation, en enregistrant les leçons données et en restituant des extraits critiques ont été à même de fournir une réflexion théorique parfois impressionnante. Certes, on a là pour l'instant un contrôle a posteriori, mais dans la mesure où un tel contrôle, explicite, est assez rare chez les enseignants, nous estimons qu'il y a là un premier élément de réponse fort intéressant.

R.F.

1 Ce texte n'est en aucun cas exhaustif et veut simplement fournir des éléments pour prolonger le débat entre nous.

2 Floris@fapse.unige.ch

3 C. Houdement, A. Kuzniak, Autour des stratégies utilisées pour former les maîtres du premier degré en mathématiques, RDM, vol. 16/3, Grenoble, 1996.

4 Voir http://www.unige.ch/fapse/SSE/teachers/floris/

5 Lors de la journée SSRDM 1998.

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"Curiosités didactiques" vous propose des observations. "Une observation prend le statut de phénomène didactique dès lors qu'elle est interprétée à l'aide d'une analyse" (Colette Laborde, "l'enseignement de la géométrie", in RDM 9.3 p.340). Les observations proposées seront souvent directes. Elles n'ont pas nécessité de dispositifs particuliers pour leur mise en évidence. Elles devraient cependant susciter de la part du lecteur une amorce d'analyse. retour

La question ci-dessous est posée dans un travail écrit destiné à des 7e année (économique). L'intention est de tester les connaissances concernant le théorème de Pythagore, dont le chapitre a été récemment étudié par cette classe.

Dans un système d'axes perpendiculaires gradués en centimètres, dessine les points a(2 ; 2) et b(13 ; 3). Calcule alors la longueur de ab.

Voici la réponse de l'élève:

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