A propos de praxéologie.

Préambule. Engagé dans un travail de recherche particulier (apport de la didactique des mathématiques aux études de mathématiques), le modèle de fonction professorale proposé par Yves Chevallard lors de la VIIIe école d’été de didactique des mathématiques en 1995 m’a paru exploitable. Je tente ici de vous partager une part de mon travail d’appropriation, celle qui condense en 4 pages le texte original qui en fait environ 40. Je livre en fin d’exercice quelques questions que ce texte me pose.   sommaire

La fonction professorale: esquisse d'un modèle didactique1.

I. La notion doeuvre.

On appellera oeuvre O toute production humaine qui apporte réponse à un ou des types de questions Q, théoriques ou pratiques, qui sont raisons dêtre de loeuvre.

La société se constitue par une accumulation plus ou moins ordonnée doeuvres, qui donnent chacune des éléments de réponses à quelques questions plus ou moins vitales. La description des oeuvres dune société est encyclopédique: la ville, les nombres décimaux, lorthographe du français, le professeur de mathématiques, le cours magistral, sont autant doeuvres. Elles peuvent naître, dépérir, disparaître, resurgir, il y a écologie sociale des oeuvres. Les savoirs et les institutions sont des oeuvres.

Une oeuvre O sélabore et se développe en réponse à des types de questions Q - les questions génératrices de O. Un savoir S, correspondant par exemple à la position dun mathématicien dans une certaine institution, est pertinent sil peut produire des réponses à Q, qui se transforme alors en problèmes dans S. Q est problématisé dans le savoir S.

LEcole est une oeuvre qui, par la formation scolaire, répond à la question suivante:

- comment gérer lentrée des jeunes générations dans le système des oeuvres où elles sont appelées à vivre et résoudre des questions quelles seront amenées à rencontrer?

1 Actes de la VIIIe Ecole d'Eté de Didactique des Mathématiques, St-Sauves D'Auvergne; R. Noirfalise et M.J. Perrin-Glorian, eds.1996 IREM Clermont-Ferrand, p.83-122.

Une personne x peut entrer dans une oeuvre par assujettissement: lenfant à sa famille ou à sa langue maternelle. Mais x peut simposer, ou se voir imposer dentrer dans une oeuvre O par lintermédiaire dune institution I qui en serait lun des habitats. Il y a dans ce cas apparition dune intention formatrice.

II. La notion de praxéologie.

La geste du professeur.

On désignera par E lEcole, ou système de formation scolaire, généralement composé dun complexe dInstitutions I. Soit I lune delles. Chaque acteur x occupe une position p dans lensemble P(I) des positions institutionnelles possibles. Lensemble des gestes que x, occupant la position p, doit accomplir, caractérise p. Cest la pratique de x en position p. Cette pratique sobserve sous trois dimensions:

- les gestes;

- les dispositifs dans le cadre desquels les gestes sont accomplis;

- les savoirs et systèmes de connaissances pertinents qui permettent

de structurer les dispositifs et dinformer les gestes.

On a donc un premier système de repérage de la position institutionnelle du professeur, à laide des deux questions suivantes:

- dans quels dispositifs, par quels gestes, nourris par quels savoirs, armés par quelles connaissances un professeur opère-t-il?

- dans quels dispositifs, par quels gestes, nourris par quels savoirs, armés par quelles connaissances un professeur pourrait-il opérer, dans des conditions et sous des contraintes données?

Tâches et techniques.

Toute pratique de x en position p se laisse analyser à son tour en un système de tâches. On désignera par T un type de tâches ti. "Résoudre une équation du second degré", "fermer le robinet", "corriger un paquet de copies", sont des types de tâches. Certaines tâches sont routinières, dautres problématiques. Une tâche problématique peut devenir routinière, puis naturalisée. Elle devient alors transparente, il y a habitus.

Une tâche est routinière pour x si x maîtrise une technique t qui laccomplit. Une technique est un ensemble réglé de gestes accomplis dans un certain dispositif.

Toute technique t, pour pouvoir saccomplir régulièrement et rigoureusement, est assujettie à une technologie qui la fonde et la justifie. Cette technologie peut elle-même être soumise à une théorie , une théorie de la technique, mais qui napparaît dans bien des cas quà létat de traces, dans un état évanouissant.

Exemple mathématique.

Soit la tâche qui consiste à démontrer légalité .

Une technique ici applicable est le "raisonnement par récurrence":

Posons . On a et donc S1 = 1 et donc S1 = 1(1 + 1) / 2. Supposons alors que

 et montrons que . On a :

Par suite, pour tout n > ou = 1

Une technologie classique de cette technique - ou du moins lélément technologique clé à partir duquel se construira le discours technologique - tient alors dans lassertion suivante:

Soit . Si 0 appartient à S et si on a: n app. à S alors n + 1 app. à S , alors S =

La justification de cette assertion, cest-à-dire la théorie de la technique considérée, peut constituer en une axiomatique de incluant lassertion indiquée à titre daxiome (Peano). Elle peut se constituer également en théorie, par la démonstration de lénoncé suivant: est bien ordonné.

Nous avons donc un modèle détude à trois niveaux: technique, technologique, théorique. Et ce schéma vaut pour toute activité humaine.

Praxéologie.

Soit un type de tâches T, accomplies par x occupant une position p dans I. t,,les techniques, technologies, théories associées à T. Ce complexe, noté est dit praxéologie relative à T. Si p est professeur de mathématiques, noté , sera dite didactique professorale.

Létude du modèle ainsi posé permet alors de répondre au grand problème suivant:

Quels systèmes de tâches, accomplies par quelles techniques, justifiées et rendues intelligibles par quelles technologies, elles-mêmes justifiables par quelles théories, peuvent-elles se mettre à exister, évoluent, meurent ou se régénèrent, et sous quelles conditions écologiques (en termes, par exemple, doccupants des positions de professeur, des positions de parents, etc.)?

III. Champ de létude de .

Dans cette étude, le professeur est à situer dans un emboîtement de systèmes et denvironnements qui aura comme "origine de repère" létablissement. Il faut considérer:

à lintérieur de létablissement:

un groupe d'étudiants X

un collectif d'aides à l'étude Y

un système d'oeuvres Oi

un programme d'études Pk pour chaque oeuvre

à l'extérieur de l'établissement:

le système de formation scolaire (textes officiels)

l'environnement social local.

Questions.

- La praxéologie proposée par Chevallard me permet effectivement de cadrer une description de ce que j'observe, avec le recul nécessaire. Mais ce recul ne sera-t-il pas trop grand, des phénomènes d'une certaine finesse pourront-ils encore s'y montrer?

- Faudra-t-il introduire des niveaux en fonction des diverses tâches observées du professeur?

- Idem pour les techniques (du professeur ou de l'étudiant), qui ne sont pas toujours monolithiques, ou solidement fondées sur une technologie; il peut même y avoir amalgame de techniques diverses.

A.S. d'après Y. Chevallard.

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