Eléments de réflexion à propos de la robustesse d’une situation a-didactique.   L’expérience d’enseignement montre que les situations a-didactiques peuvent être plus ou moins "délicates", ou "robustes", dans leur application en classe. Cela nous incite à poser quelques questions. sommaire bulletin 1

Les questions. Comment la robustesse se manifeste-t-elle? Quelles sont ses caractéristiques? Peut-on les rechercher dans la situation a-didactique elle même? Ou bien faut-il les chercher dans la situation didactique (situation + acteurs)? Une situation robuste est-elle diffuse, ou fréquente? Est-elle sujette à lusure?

Je souhaite apporter quelques éléments de réflexion à propos de ces questions en vous faisant part de mes expériences concernant la pratique dune situation proposée par Marianne Frémin: "Pyramides bizarres" (COPIRELEM, documents pour la formation des professeurs décole en didactique des mathématiques, tome II, pages 135-138, IREM de Bordeaux, janvier 1993).

Le contexte. Depuis plusieurs années nous utilisons cette situation soit à l’école normale de Locarno dans les cours de didactique des mathématiques soit à l’occasion de stages de perfectionnement. En formation initiale, les buts sont de l’ordre du mathématique (savoirs sur les patrons de n’importe quelle pyramide), de la didactique des mathématiques (faire aussi l’expérience d’une situation d’action, de formulation et de validation pour ensuite identifier les caractéristiques des trois dialectiques), et enfin, sur le plan affectif, laisser émerger quelques timides réflexions au niveau des émotions, du rapport aux mathématiques, brins d’histoires qui se perdent dans les passés scolaires... Par contre en formation continue on se limite au deuxième point, didactique des mathématiques.

La situation. Dans le texte cité, M. Frémin illustre et commente très très bien la situation dont je donne ici simplement quelques éléments pour quil soit possible de suivre mes propos.

Consigne: "construire une pyramide, pas une belle régulière comme celle du Louvre, une vilaine comme ça (montrer)", c. à d. une pyramide dont la hauteur (au moins de 10 cm) "tombe" en dehors de la base qui doit être carrée (de côté 6 cm). Les élèves travaillent en groupe de 4 ou 5, ils ont du papier Bristol et les instruments de dessin ordinaires; ils peuvent procéder en toute liberté. Au terme du travail, ils auront un produit à montrer, une description claire de leur procédure à donner et, suivant les cas, une explication convaincante pour justifier leur résultat (savoirs utilisés, hypothèses posées, ...).

Le savoir mathématique. Le patron (dans la configuration "base au centre et triangles en étoile" autour) de nimporte quelle pyramide, peut être produit, par le dessin, sur la base de deux "théorèmes":

théorème 1: les côtés adjacents de deux "triangles-faces" sont isométriques.

théorème 2: les prolongations des hauteurs des "triangles-faces" par rapport aux côtés qui coïncident avec les côtés de la base se rencontrent en un point unique qui est aussi la projection orthogonale du sommet de la pyramide sur le plan de la base.

Observations et analyse. Lexpérience répétée de cette activité montre que la situation a-didactique décrite permet dinstaurer effectivement une dialectique de laction et représente bien une réalisation de la situation fondamentale, tout au moins par rapport au théorème 1.

Malgré les différences de contexte et dacteurs, les apports individuels et le travail de groupe amènent régulièrement la "classe" à identifier ce savoir comme pertinent par rapport à la tâche. De plus, lapparition régulière de toute une variété de faits spécifiques (que je mabstiens de décrire en détail, faute de place), de procédures, de dynamiques de groupes, de difficultés observées directement ou indirectement, est frappante. Cette reproductibilité mapparaît alors comme un signe de la robustesse de la situation.

La consigne est donnée et généralement immédiatement comprise, bien que souvent les élèves vont demander, quelque peu incrédules, sils pourront vraiment tout faire. La phase daction se déroule alors sans quil soit nécessaire que lenseignant intervienne. La tâche absorbe totalement les élèves, et lon observe des faits fort intéressants, comme je le disais, sur le plan des procédures, etc. Le recours à un modèle "en petit" pour mieux comprendre les trajectoires des faces quand on les rabat, les hypothèses demplacement, lexplication de "théories" en construction, etc., apparaît régulièrement, ainsi quune alternance entre le travail en collectif et la réflexion ou

Les valeurs des quelques variables didactiques ne sont pas strictement fixes: les dimensions de la pyramide peuvent se situer dans un intervalle assez large, la formation des groupes nest pas soumise à conditions particulières, soit par rapport au nombre délèves, qui peut se situer entre 3 et 5, soit par rapport à la composition du groupe, etc. La robustesse se manifeste alors aussi en terme de flexibilité, soit résistance à des variations sensibles des variables.

Enfin, il me semble quinterférer dans le déroulement de lactivité ne peut se faire que volontairement, mais ceci demanderait à être vérifier plus fortement.

En conclusion. Reproductibilité, autonomie, flexibilité, bonne résistance aux interférences accidentelles: ces quatre éléments pourraient-ils déjà convenir comme caractéristiques dune situation robuste? Si la réponse oui, on ne pourrait apprécier la robustesse dune situation quen situation didactique et encore, après un nombre significatif de reproductions. En outre, si on prétend se prononcer au sujet de la reproductibilité, à savoir si celle-ci est objective, ou seulement relative aux pratiques dune personne particulière, dans un contexte institutionnel précis, on aura avantage à observer des acteurs différents dans des contextes analogues.

Bien des questions restent ouvertes et lintérêt ne manque pas, la recherche sur la robustesse dune situation exige, pour être fructueuse, un regard très attentif sur toutes les caractéristiques des situations. Cet intérêt tient premièrement de la recherche en didactique des mathématiques mais aussi de lenseignement là où les réponses peuvent apporter des avantages dans la diffusion des pratiques denseignement.

Personellement jaime cette situation et je lutilise avec plaisir, soit pour les résultats qui y apparaissent régulièrement, soit parce quil nest pas rare quelle constitue un premier pas de réconciliation entre élèves et mathématiques. Elle me plaît parce que jobserve toujours quelques détails intéressants. Enfin elle mintrigue parce que je nai pas encore mis au point une deuxième situation efficace - et justement solide - tout à fait indispensable pour découvrir le "bout de théorie" qui manque (théorème 2).

F.P.

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